对数均值不等式公式图片(对数均值不等式公式)

2023-06-16 10:04:00 来源:互联网

1、1.比较法比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一,它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用,比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法)。

2、 (1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质:“a-b≥0a≥b;a-b≤0a≤b”。

3、其一般步骤为:①作差:考察不等式左右两边构成的差式,将其看作一个整体;②变形:把不等式两边的差进行变形,或变形为一个常数,或变形为若干个因式的积,或变形为一个或几个平方的和等等,其中变形是求差法的关键,配方和因式分解是经常使用的变形手段;③判断:根据已知条件与上述变形结果,判断不等式两边差的正负号,最后肯定所求证不等式成立的结论。


(资料图片仅供参考)

4、应用范围:当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法。

5、 (2)商值比较法的理论依据是:“若a,b∈R+,a/b≥1a≥b;a/b≤1a≤b”。

6、其一般步骤为:①作商:将左右两端作商;②变形:化简商式到最简形式;③判断商与1的大小关系,就是判定商大于1或小于1。

7、应用范围:当被证的不等式两端含有幂、指数式时,一般使用商值比较法。

8、 2.综合法利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础,借助不等式的性质和有关定理,经过逐步的逻辑推理,最后推出所要证明的不等式,其特点和思路是“由因导果”,从“已知”看“需知”,逐步推出“结论”。

9、其逻辑关系为:AB1 B2 B3… BnB,即从已知A逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论B。

10、 3.分析法分析法是指从需证的不等式出发,分析这个不等式成立的充分条件,进而转化为判定那个条件是否具备,其特点和思路是“执果索因”,即从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”。

11、用分析法证明AB的逻辑关系为:BB1B1 B3 … BnA,书写的模式是:为了证明命题B成立,只需证明命题B1为真,从而有…,这只需证明B2为真,从而又有…,……这只需证明A为真,而已知A为真,故B必为真。

12、这种证题模式告诉我们,分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件。

13、 4.反证法有些不等式的证明,从正面证不好说清楚,可以从正难则反的角度考虑,即要证明不等式A>B,先假设A≤B,由题设及其它性质,推出矛盾,从而肯定A>B。

14、凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时,可以考虑用反证法。

15、 5.换元法换元法是对一些结构比较复杂,变量较多,变量之间的关系不甚明了的不等式可引入一个或多个变量进行代换,以便简化原有的结构或实现某种转化与变通,给证明带来新的启迪和方法。

16、主要有两种换元形式。

17、(1)三角代换法:多用于条件不等式的证明,当所给条件较复杂,一个变量不易用另一个变量表示,这时可考虑三角代换,将两个变量都有同一个参数表示。

18、此法如果运用恰当,可沟通三角与代数的联系,将复杂的代数问题转化为三角问题根据具体问题,实施的三角代换方法有:①若x2+y2=1,可设x=cosθ,y=sinθ;②若x2+y2≤1,可设x=rcosθ,y=rsinθ(0≤r≤1);③对于含有的不等式,由于|x|≤1,可设x=cosθ;④若x+y+z=xyz,由tanA+tanB+tanC=tanAtan-BtanC知,可设x=taaA,y=tanB,z=tanC,其中A+B+C=π。

19、(2)增量换元法:在对称式(任意交换两个字母,代数式不变)和给定字母顺序(如a>b>c等)的不等式,考虑用增量法进行换元,其目的是通过换元达到减元,使问题化难为易,化繁为简。

20、如a+b=1,可以用a=1-t,b=t或a=1/2+t,b=1/2-t进行换元。

21、 6.放缩法放缩法是要证明不等式A

22、放缩法证明不等式的理论依据主要有:(1)不等式的传递性;(2)等量加不等量为不等量;(3)同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较。

23、常用的放缩技巧有:①舍掉(或加进)一些项;②在分式中放大或缩小分子或分母;③应用均值不等式进行放缩。

24、 比较法(作差法) 在比较两个实数 和 的大小时,可借助 的符号来判断。

25、步骤一般为:作差——变形——判断(正号、负号、零)。

26、变形时常用的方法有:配方、通分、因式分解、和差化积、应用已知定理、公式等。

27、 例已知: , ,求证: 。

28、 证明: ,故得 。

29、 2、分析法(逆推法) 从要证明的结论出发,一步一步地推导,最后达到命题的已知条件(可明显成立的不等式、已知不等式等),其每一步的推导过程都必须可逆。

30、 例2、求证: 。

31、 证明:要证 ,即证 ,即 , , , , ,由此逆推即得 。

32、 3、综合法 证题时,从已知条件入手,经过逐步的逻辑推导,运用已知的定义、定理、公式等,最终达到要证结论,这是一种常用的方法。

33、 例3、已知: , 同号,求证: 。

34、 证明:因为 , 同号,所以 , ,则 ,即 。

35、 4、作商法(作比法) 在证题时,一般在 , 均为正数时,借助 或 来判断其大小,步骤一般为:作商——变形——判断(大于1或小于1)。

36、 例4、设 ,求证: 。

37、 证明:因为 ,所以 , 。

38、而 ,故 。

39、 5、反证法 先假设要证明的结论不对,由此经过合理的逻辑推导得出矛盾,从而否定假设,导出结论的正确性,达到证题的目的。

40、 例5、已知 , 是大于1的整数,求证: 。

41、 证明:假设 ,则 ,即 ,故 ,这与已知矛盾,所以 。

42、 6、迭合法(降元法) 把所要证明的结论先分解为几个较简单部分,分别证明其各部分成立,再利用同向不等式相加或相乘的性质,使原不等式获证。

43、 例6、已知: , ,求证: 。

44、 证明:因为 , , 所以 , 。

45、 由柯西不等式 ,所以原不等式获证。

46、 7、放缩法(增减法、加强不等式法) 在证题过程中,根据不等式的传递性,常采用舍去一些正项(或负项)而使不等式的各项之和变小(或变大),或把和(或积)里的各项换以较大(或较小)的数,或在分式中扩大(或缩小)分式中的分子(或分母),从而达到证明的目的。

47、值得注意的是“放”、“缩”得当,不要过头。

48、常用方法为:改变分子(分母)放缩法、拆补放缩法、编组放缩法、寻找“中介量”放缩法。

49、 例7、求证: 。

50、 证明:令 ,则 , 所以 。

51、 8、数学归纳法 对于含有 的不等式,当 取第一个值时不等式成立,如果使不等式在 时成立的假设下,还能证明不等式在 时也成立,那么肯定这个不等式对 取第一个值以后的自然数都能成立。

52、 例8、已知: , , ,求证: 。

53、 证明:(1)当 时, ,不等式成立; (2)若 时, 成立,则 = , 即 成立。

54、 根据(1)、(2), 对于大于1的自然数 都成立。

55、 9、换元法 在证题过程中,以变量代换的方法,选择适当的辅助未知数,使问题的证明达到简化。

56、 例9、已知: ,求证: 。

57、 证明:设 , ,则 , (因为 , ), 所以 。

本文分享完毕,希望对大家有所帮助。

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